17. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = √2 угол при основании равен 30°. Найдите биссектрису AK.

Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, углы при A и C равны 30°, а \(\angle B=120^\circ\).

По теореме синусов найдём равные боковые стороны:

\(AB=BC=AC\cdot\dfrac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\).

Для биссектрисы из A используем формулу \(AK^2=AB\cdot AC\left(1-\dfrac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right)\), эквивалентную формуле длины биссектрисы.

Подставим значения: \(AK^2=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{2}\left(1-\dfrac{2/3}{\left(\sqrt{2/3}+\sqrt{2}\right)^2}\right)=1\).

Поскольку длина положительна, \(AK=1\).

Ответ: 1.