17. В равнобедренной трапеции известны высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Решение:

Из рисунка видно, что большее основание \( a = 15 \), высота \( h = 5 \), а угол при большем основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершин меньшего основания на большее, то получатся два прямоугольных треугольника. Угол при большем основании равен \( 45^{\circ} \), а противолежащий катет (высота) равен 5. Найдем прилежащий катет (часть большего основания, отсекаемую высотой).

В прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\alpha) = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет} \]

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x} \]

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \) и \( h = 5 \), то:

\[ 1 = \frac{5}{x} \implies x = 5 \]

Эта величина \( x \) — это отрезок, который откладывается от вершины большего основания к основанию высоты. В равнобедренной трапеции таких отрезка два (с каждой стороны).

Меньшее основание \( b \) равно большему основанию \( a \) минус два таких отрезка:

\[ b = a - 2x \]

\[ b = 15 - 2 \times 5 = 15 - 10 = 5 \]

Ответ: 5