17 В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Обозначим основания трапеции как \( a = 3 \) и \( b = 5 \). Высоту трапеции обозначим как \( h \). Угол между боковой стороной и большим основанием равен 45°.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Чтобы найти высоту \( h \), проведём из вершин верхнего основания (длиной 3) перпендикуляры к нижнему основанию (длиной 5). Эти перпендикуляры отсекут от нижнего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна \( \frac{b-a}{2} = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком длиной 1 и боковой стороной трапеции. Угол при основании равен 45°.

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла 45° равен отношению противолежащего катета (высоты \( h \)) к прилежащему катету (отрезку длиной 1):

\( \tan 45^{\circ} = \frac{h}{1} \)

Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), то:

\( 1 = \frac{h}{1} \) \( \Rightarrow \) \( h = 1 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{3+5}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} \cdot 1 = 4 \cdot 1 = 4 \).

Ответ: 4