16. В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB=8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения этой задачи нам понадобится формула, связывающая сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности. Эта формула является следствием теоремы синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие углы, а R — радиус описанной окружности.

По условию задачи нам даны:

• Сторона AB, которую мы можем обозначить как c, и она равна 8√2.
• Противолежащий этой стороне угол C, который равен 45°.

Из формулы теоремы синусов мы можем выразить радиус R:

\[ \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = 2R \]

Мы знаем, что sin 45° равен √2 / 2.

\[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]

Упростим выражение:

\[ 8\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]

\[ 8 \times 2 = 2R \]

\[ 16 = 2R \]

Теперь найдем радиус R, разделив обе части на 2:

\[ R = \frac{16}{2} \]

\[ R = 8 \]

Ответ: 8