17 В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции нам нужна формула:

\[ S = \frac{a+b}{2} · h \]

где $$a$$ и $$b$$ — основания, а $$h$$ — высота.

У нас дано:

• Большее основание $$b = 9$$
• Меньшее основание $$a = 3$$
• Угол при основании $$45^{\circ}$$

Чтобы найти высоту $$h$$, опустим две высоты из концов меньшего основания на большее.

Так как трапеция равнобедренная, то основания большего основания, отсекаемые высотами, равны:

\[ x = \frac{b-a}{2} \]

\[ x = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $$h$$, основанием $$x$$ и боковой стороной. Угол при основании равен $$45^{\circ}$$.

В этом прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x} \]

Так как $$\tan(45^{\circ}) = 1$$, то:

\[ 1 = \frac{h}{3} \]

\[ h = 3 \]

Теперь, когда у нас есть высота, мы можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{3+9}{2} · 3 \]

\[ S = \frac{12}{2} · 3 \]

\[ S = 6 · 3 \]

\[ S = 18 \]

Ответ: 18