17. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 11, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 11 \) и \( b = 5 \). Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) - высота трапеции.

Проведем высоту из вершин верхнего основания к нижнему.

Разность оснований \( a - b = 11 - 5 = 6 \).

Эта разность делится пополам на два отрезка у оснований: \( x = \frac{6}{2} = 3 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком \( x \). Угол при основании равен \( 45^{\circ} \).

В таком треугольнике высота \( h \) равна отрезку \( x \), так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{h}{x} = 1 \).

Следовательно, \( h = x = 3 \).

Теперь вычислим площадь:

\( S = \frac{11+5}{2} \cdot 3 \)

\( S = \frac{16}{2} \cdot 3 \)

\( S = 8 \cdot 3 \)

\( S = 24 \)

Ответ: 24