17 Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания ВС.

Решение:

Пусть \(CH\) — высота трапеции, проведённая из вершины \(C\) к основанию \(AD\). Так как трапеция равнобедренная, то \(BC < AD\). Основание \(AD\) делится точкой \(H\) на два отрезка. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины верхнего основания к нижнему, отсекает отрезок, равный полуразности оснований. Рассмотрим два возможных случая деления основания \(AD\).

Случай 1: Отрезок \(HD = 3\) и отрезок \(AH = 11\).

В этом случае \(AD = AH + HD = 11 + 3 = 14\).

Так как трапеция равнобедренная, то \(AH = (AD - BC) / 2\) и \(HD = (AD - BC) / 2\) неверно. Правильно, что отрезки, отсекаемые высотой, проведённой из вершин \(B\) и \(C\) на большее основание, равны: \(AH = (AD - BC)/2\) и \(GD = (AD - BC)/2\), где \(BG\) — высота из \(B\).

Пусть \(CH\) — высота из \(C\) на \(AD\). Отрезок \(HD\) равен \((AD - BC) / 2\) или \(AD - (AH + BC)\), где \(AH\) - отрезок от \(A\) до проекции \(B\) на \(AD\).

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту \(CH\) из \(C\) на \(AD\), то точка \(H\) будет находиться ближе к \(D\) или \(A\) в зависимости от того, какой отрезок является \(HD\) или \(AH\).

Пусть \(CH \perp AD\). Тогда \(H\) — точка на \(AD\). Отрезки, на которые делится \(AD\), это \(AH\) и \(HD\). Так как трапеция равнобедренная, то \(AD = BC + 2x\), где \(x\) — длина отрезка, прилежащего к боковой стороне. В нашем случае, если высота из \(C\) делит \(AD\) на отрезки 3 и 11, то один из них — это отрезок, который равен \((AD-BC)/2\), а другой — это \(BC + (AD-BC)/2 = (AD+BC)/2\) или \(BC + x\).

Правило для равнобедренной трапеции: если из вершины \(C\) опустить высоту \(CH\) на основание \(AD\), то \(HD = (AD - BC) / 2\) (или \(AH = (AD - BC) / 2\), если \(AD\) — меньшее основание, что не наш случай).

Значит, либо \(HD = 3\) и \(AH = 11\) (тогда \(AD = 14\)), либо \(AH = 3\) и \(HD = 11\) (тогда \(AD = 14\)).

В первом случае: \(HD = 3\). Значит, \(3 = (14 - BC) / 2\). \(6 = 14 - BC\). \(BC = 14 - 6 = 8\).

Во втором случае: \(AH = 3\). Тогда \(HD = AD - AH = 14 - 3 = 11\). Это соответствует первому случаю, где \(HD=11\). Значит, \(11 = (14 - BC) / 2\). \(22 = 14 - BC\). \(BC = 14 - 22 = -8\), что невозможно.

Давайте переформулируем: проведена высота \(CH\) из \(C\) на \(AD\). Точка \(H\) делит \(AD\) на отрезки \(AH\) и \(HD\). У нас есть два случая:

1. \(AH=3\) и \(HD=11\). Тогда \(AD = AH + HD = 3 + 11 = 14\). В равнобедренной трапеции \(AH = (AD-BC)/2\). Следовательно, \(3 = (14 - BC)/2\). \(6 = 14 - BC\). \(BC = 14 - 6 = 8\).

2. \(AH=11\) и \(HD=3\). Тогда \(AD = AH + HD = 11 + 3 = 14\). В равнобедренной трапеции \(HD = (AD-BC)/2\). Следовательно, \(3 = (14 - BC)/2\). \(6 = 14 - BC\). \(BC = 14 - 6 = 8\).

В обоих случаях \(BC = 8\).

Ответ: 8.