171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

Пусть боковая сторона равна 15 см. Точка касания делит ее на отрезки 15 * (2/5) = 6 см и 15 * (3/5) = 9 см. Пусть основание равно 2x. Тогда отрезки от вершины при основании до точек касания равны x. По свойству касательных, отрезки от вершины при вершине угла между боковыми сторонами до точек касания равны. Пусть эти отрезки равны y. Тогда боковая сторона равна x + y = 15. Отрезки от вершины при основании до точек касания равны x. Отрезки от вершины при вершине угла между боковыми сторонами до точек касания равны y. Точка касания делит боковую сторону в отношении 2:3, считая от вершины угла при основании. Это означает, что отрезки от вершины при основании до точки касания равны 6 см, а от вершины при вершине угла между боковыми сторонами до точки касания равны 9 см. Таким образом, x = 6 см. Основание равно 2x = 12 см.