172. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Обозначим гипотенузу через \(c\). В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катеты равны \(\frac{c}{2}\) и \(\frac{c\sqrt{3}}{2}\).

Используем формулу площади:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{2}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда \(\frac{c^2\sqrt{3}}{8}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(c^2=100\) и \(c=10\).

Ответ: 10.