172. В окружности, радиус которой равен 1, проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD, пересекающиеся в точке О. Найдите угол KAD, где К лежит на радиусе ОВ и ОК = 1/√3. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром O и радиусом R = 1.
• Диаметры AC ⊥ BD.
• Точка K лежит на радиусе OB.
• OK = 1 √3

Найти: ∠KAD (в градусах)

Решение:

1. Система координат: Введем систему координат с началом в точке O. Пусть ось Ox совпадает с OA, а ось Oy совпадает с OB.
• Тогда координаты точек:
• O = (0, 0)
• A = (-1, 0)
• B = (0, 1)
• C = (1, 0)
• D = (0, -1)
2. Координаты точки K: Точка K лежит на радиусе OB, который совпадает с осью Oy. Так как OK = 1 √3 , то координаты точки K будут:
3. K = (0, 1 √3 )
4. Векторы: Найдем векторы AK и AD.
• AK = K - A = (0 - (-1), 1 √3 - 0) = (1, 1 √3 )
• AD = D - A = (0 - (-1), -1 - 0) = (1, -1)
5. Скалярное произведение: Угол между векторами AK и AD можно найти с помощью скалярного произведения.
• AK ⋅ AD = |AK| ⋅ |AD| ⋅ cos(∠KAD)
• AK ⋅ AD = (1)(1) + ( 1 √3 )(-1) = 1 - 1 √3 ) = √3 - 1 √3
• |AK| = √(1² + ( 1 √3 )²) = √(1 + 1 3 ) = √(4/3) = 2 √3
• |AD| = √(1² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2
6. Вычисление угла:
• cos(∠KAD) = (AK ⋅ AD) / (|AK| ⋅ |AD|) = ( √3 - 1 √3 ) / (( 2 √3 ) ⋅ √2) = ( √3 - 1 √3 ) / ( 2√6 √3 ) = √3 - 1 2√6
• Упростим выражение для косинуса:
• cos(∠KAD) = (√3 - 1) ⋅ √6 2√6 ⋅ √6 = √18 - √6 12 = 3√2 - √6 12
• Значение угла, косинус которого равен 3√2 - √6 12 , равно 75°.

Ответ: 75