177. Сравните значения выражений: а) 47,5² − 42,5² и 90; б) (6,7³ + 1,7³)/8,4 и 6,7² + 1,7²; в) 67 1/3 · 64 2/3 и 66²; г) (3,9⁵ − 1,9⁵)/2 и 3,9⁴ + 1,9⁴.

а) Используем разность квадратов: 47,5² − 42,5² = (47,5 − 42,5)(47,5 + 42,5) = 5 · 90 = 450. Следовательно, 450 > 90.

б) Обозначим a = 6,7 и b = 1,7; тогда a + b = 8,4. По формуле суммы кубов (a³ + b³)/(a + b) = a² − ab + b². Это меньше a² + b² на положительное число ab. Значит, (6,7³ + 1,7³)/8,4 < 6,7² + 1,7².

в) 67 1/3 = 66 + 1 1/3, а 64 2/3 = 66 − 1 1/3. По формуле разности квадратов произведение равно 66² − (1 1/3)², поэтому оно меньше 66².

г) Так как 3,9 − 1,9 = 2, применяем формулу разности степеней: (3,9⁵ − 1,9⁵)/2 = 3,9⁴ + 3,9³·1,9 + 3,9²·1,9² + 3,9·1,9³ + 1,9⁴. Средние слагаемые положительны, поэтому выражение больше 3,9⁴ + 1,9⁴.

Ответ: а) >; б) <; в) <; г) >.