178 Одно время была популярна лотерея «Честная игра». В билете лотереи имеется 20 закрытых букв, ровно 10 из них — буквы слова «АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает машину. а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв? б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль? в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

Задание 178

В этом задании разбираем комбинаторику и вероятность. В билете 20 букв, из них 10 — это буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», а остальные 10 — другие буквы.

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

Это задача на выбор 10 букв из 20. Порядок не важен, поэтому используем формулу сочетаний $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Здесь $$n = 20$$ (всего букв), $$k = 10$$ (выбираем 10 букв).

$$ C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!} $$

Рассчитаем:

$$ C_{20}^{10} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 184756 $$

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

Чтобы выиграть автомобиль, нужно открыть все 10 букв слова «АВТОМОБИЛЬ». Эти 10 букв находятся среди 20 букв билета. Нам нужно выбрать именно эти 10 букв. Сколько способов это сделать? Только один, потому что нам нужны все 10 конкретных букв.

$$ C_{10}^{10} = 1 $$

в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Число благоприятных исходов (открыть все 10 букв "АВТОМОБИЛЬ") = 1.

Общее число исходов (открыть любые 10 букв из 20) = 184756.

$$ P(\text{выиграть}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{1}{184756} $$

Ответ: а) 184756 способов, б) 1 способ, в) $$ \frac{1}{184756} $$.