180 В ящике 4 красных и 2 жёлтых флажка. Из него наудачу извлекают 3 флажка. Какова вероятность того, что все эти флажки красные?

Задание 180

Эта задача на вероятность, связанная с выбором без возвращения. Всего в ящике 4 красных + 2 желтых = 6 флажков.

1. Общее количество способов выбрать 3 флажка из 6:

Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу сочетаний $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Здесь $$n = 6$$ (всего флажков), $$k = 3$$ (выбираем 3).

$$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $$

Всего существует 20 способов выбрать 3 флажка из 6.

2. Количество благоприятных исходов (все 3 флажка красные):

Нам нужно выбрать 3 красных флажка из 4 имеющихся. Опять используем сочетания:

$$ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4 $$

Существует 4 способа выбрать 3 красных флажка.

3. Расчет вероятности:

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

$$ P(\text{все 3 красные}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $$

Ответ: $$ \frac{1}{5} $$.