18) (3 балла) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12см, высота пирамиды равна 8см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании. Площадь полной поверхности (S_полн) складывается из площади основания (S_осн) и площади боковой поверхности (S_бок).

1. Площадь основания:

Основание — квадрат со стороной \( a = 12 \) см.

\[ S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников. Для нахождения площади каждого треугольника нужна его высота — апофема (l).

Найдем апофему. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H = 8 см), половиной стороны основания ( \( \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см) и апофемой (l) как гипотенузой.

\[ l = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]

Площадь одного бокового треугольника:

\[ S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2 \]

Площадь всей боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 60 = 240 \text{ см}^2 \]

3. Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144 + 240 = 384 \text{ см}^2 \]

Ответ: 384 см².