18. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

Так как K лежит на биссектрисе угла A, то d(K, AB) = d(K, AD). Так как K лежит на биссектрисе угла D, то d(K, AD) = d(K, CD).

Следовательно, d(K, AB) = d(K, CD). В параллелограмме AB ∥ CD. Точка K лежит на BC, поэтому её расстояния до параллельных прямых AB и CD пропорциональны отрезкам BK и KC с одним и тем же коэффициентом — синусом угла между BC и AB. Равенство расстояний означает, что BK = KC.

Значит, K — середина BC.