18. Диагональ AC ромба ABCD равна 32, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому \(OC=16\), а треугольник BOC прямоугольный.

Поскольку O лежит на AC, \(\angle BCA=\angle BCO\). Тогда \(\tan\angle BCA=\frac{BO}{OC}=0.75\), откуда \(BO=16\cdot0.75=12\). Следовательно, \(BD=24\).

Сторона ромба: \(BC=\sqrt{OC^2+BO^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\). Периметр равен 80, а полупериметр — 40.

Площадь ромба: \(S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{32\cdot24}{2}=384\). Для вписанной окружности \(S=r\cdot p\), где p — полупериметр. Поэтому \(r=384/40=9.6\).

Ответ: 9,6.