18. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см³. Чему равно ребро куба?

Решение:

Пусть ребро исходного куба равно \( a \) см. Его объем равен \( V_1 = a^3 \text{ см}^3 \).

После увеличения ребра на 2 см, новое ребро равно \( a + 2 \) см. Его объем равен \( V_2 = (a+2)^3 \text{ см}^3 \).

По условию, \( V_2 - V_1 = 98 \text{ см}^3 \).

1. Развернем формулу куба суммы: \( (a+2)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 2 + 3a \cdot 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8 \).
2. Подставим в уравнение: \( (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) - a^3 = 98 \).
3. Упростим: \( 6a^2 + 12a + 8 = 98 \).
4. Перенесем все в одну сторону: \( 6a^2 + 12a + 8 - 98 = 0 \).
5. \( 6a^2 + 12a - 90 = 0 \).
6. Разделим на 6: \( a^2 + 2a - 15 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
8. Корни: \( a = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \).
9. \( a_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
10. \( a_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
11. Так как длина ребра не может быть отрицательной, выбираем \( a = 3 \text{ см} \).

Ответ: 3 см.