18. К окружности с диаметром AB в точке A проведена касательная. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точке C и касательную в точке K. Через точку D проведена хорда CD параллельно AB, что получилось трапеция ACDB. Через точку D проведена прямая DE, пересекающая прямую AK в точке E. Найдите радиус окружности, если прямые DE и BC параллельны, ∠EDC = 30° и KB = 14√3.

Пусть радиус окружности равен \(r\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(2r,0)\); касательная в точке A имеет уравнение \(x=0\). Поскольку K лежит на этой касательной, а KB задано, из прямоугольного треугольника ABK получаем \(AK^2+AB^2=KB^2\), то есть \(AK^2+4r^2=(14\sqrt3)^2\).

Из параллельности DE и BC, а также \(CD\parallel AB\), угол между DE и DC равен углу между BC и BA. Так как \(\angle EDC=30^\circ\), прямая BC образует с AB угол 30°. В прямоугольном треугольнике ABK это даёт \(\angle ABK=30^\circ\), поэтому \(AK=AB\tan30^\circ=2r/\sqrt3\).

Подставим в теорему Пифагора: \(\frac{4r^2}{3}+4r^2=588\). Следовательно, \(\frac{16r^2}{3}=588\), откуда \(r^2=110.25\) и \(r=10.5\).

Ответ: 10,5.