18. Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Примем загаданное четырёхзначное число за \( N \), а сумму его цифр за \( S \). По условию задачи, \( N - S = X \), где \( X \) — число, полученное после вычитания одной цифры из разности.
2. Шаг 2: Известно свойство: любое натуральное число, из которого вычли сумму его цифр, делится на 9. Значит, \( N - S \) делится на 9.
3. Шаг 3: Число, полученное после зачеркивания одной цифры, равно 235. Это означает, что исходное число \( X \) было трёхзначным, и одна из его цифр была зачеркнута.
4. Шаг 4: Перечислим возможные числа \( X \), которые могли получиться из \( N - S \) путем зачеркивания одной цифры:
   Если зачеркнута первая цифра: \( 235 \) — при условии, что она была 0, что невозможно для четырёхзначного числа.
   Если зачеркнута вторая цифра: \( 2\mathbf{?}35 \) - таких чисел нет, так как 235 — это результат после зачеркивания.
   Если зачеркнута третья цифра: \( 23\mathbf{?}5 \) - таких чисел нет.
   Если зачеркнута четвертая цифра: \( 235\mathbf{?} \) - таких чисел нет.
5. Шаг 5: Проверим числа, которые могли получиться, если добавить к 235 одну цифру (от 0 до 9) и проверить их на делимость на 9.
   Возможные числа: 2350, 2351, 2352, 2353, 2354, 2355, 2356, 2357, 2358, 2359, 1235, 2235, 3235, ... , 9235, 2135, 2235, 2335, 2435, ..., 2935.
   Давайте рассмотрим числа, в которых 235 является частью.
   Допустим, зачеркнули цифру в числе \( Y \), и получили 235.
   Варианты:
   - \( \boldsymbol{7}235 \): Сумма цифр \( 7+2+3+5 = 17 \). \( 17 \) не делится на 9.
   - \( 2\boldsymbol{1}35 \): Сумма цифр \( 2+1+3+5 = 11 \). \( 11 \) не делится на 9.
   - \( 23\boldsymbol{8}5 \): Сумма цифр \( 2+3+8+5 = 18 \). \( 18 \) делится на 9. Значит, \( Y = 2385 \) — это возможное число \( N-S \).
   - \( 235\boldsymbol{?} \) — нам нужно получить 235 после зачеркивания.
   - \( \boldsymbol{?}235 \).
   - \( 2\boldsymbol{?}35 \).
   - \( 23\boldsymbol{?}5 \).
6. Шаг 6: Если \( N-S = 2385 \), то проверим, может ли четырёхзначное число \( N \) дать такую разность.
   Если \( N = 2385 + S \).
   Пробуем \( N = 2385 \). Сумма цифр \( S=2+3+8+5=18 \). \( 2385-18 = 2367 \). Если из \( 2367 \) зачеркнуть \( 6 \), получим 237, что не равно 235.
   Пробуем \( N = 2395 \). Сумма цифр \( S = 2+3+9+5 = 19 \). \( 2395 - 19 = 2376 \). Зачеркнуть 7, получим 236.
   Пробуем \( N = 2485 \). Сумма цифр \( S = 2+4+8+5 = 19 \). \( 2485 - 19 = 2466 \).
   Пробуем \( N = 2385 + 18 = 2403 \). \( 2403 - (2+4+0+3) = 2403 - 9 = 2394 \).
   Если \( N-S=2385 \), то \( N \) может быть, например, \( 2403 \) (\( 2403 - 9 = 2394 \), зачеркнуть 9 - 234).
   Если \( N-S = 2376 \), то \( N \) может быть \( 2376 + (2+3+7+6) = 2376 + 18 = 2394 \).
   Если \( N-S = 2358 \) (сумма цифр 18), \( N = 2358 + 18 = 2376 \). \( 2376 - (2+3+7+6) = 2376 - 18 = 2358 \). Зачеркнуть 8, получим 235.
7. Шаг 7: Таким образом, мы нашли число \( N = 2376 \). Загаданное четырёхзначное число - \( 2376 \). Сумма его цифр: \( 2+3+7+6 = 18 \). Разность: \( 2376 - 18 = 2358 \). Если из \( 2358 \) зачеркнуть цифру \( 8 \), получится \( 235 \).

Ответ: 8