18. На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника ABC. б) Найдите S_AMD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.

а) Пусть AB = c, AC = b. Обозначим через t долю отрезка BC, на которой находится M, считая от B: BM/BC = t. Тогда вектор AM выражается как (1 − t)·AB + t·AC.

Так как D лежит на продолжении AC за A и AD = AB = c, направление BD соответствует вектору −AB − (c/b)·AC. Условие AM ∥ BD означает, что отношения коэффициентов при AB и AC совпадают, поэтому (1 − t)/t = b/c. Следовательно, BM/MC = t/(1 − t) = c/b = AB/AC.

По обратной теореме о биссектрисе прямая AM — биссектриса угла A.

б) По теореме о биссектрисе BM/MC = AB/AC = 24/30 = 4/5. Поскольку BC = 18, получаем BM = 8 и MC = 10.

Треугольник ABC прямоугольный: 18² + 24² = 30². Его площадь равна 18·24/2 = 216, а высота из B к прямой AC равна 2·216/30 = 14,4.

Точки B, M, C лежат на одной прямой, а BM/BC = 8/18 = 4/9. Поэтому расстояние от M до прямой AC составляет (1 − 4/9)·14,4 = 8. Основание треугольника AMD — AD = 24, значит S_AMD = 24·8/2 = 96.

Ответ: а) AM — биссектриса угла A; б) S_AMD = 96.