20. Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа. а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного? б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного? в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

Пусть S — выбранное множество чисел. Отношение произведения Пети к произведению Васи равно произведению множителей (n + 1)/n для всех n из S.

а) Да. Возьмём числа 23, 24, …, 45. Тогда отношение произведений телескопируется: (24/23)·(25/24)·…·(46/45) = 46/23 = 2.

б) Нет. Даже если взять все числа от 23 до 84, отношение будет наибольшим возможным, поскольку каждый множитель (n + 1)/n больше 1. Для полного набора произведение телескопируется: (24/23)·…·(85/84) = 85/23 < 6. Значит, получить отношение 6 нельзя.

в) Для того же набора из всех чисел от 23 до 84 отношение равно 85/23 ≈ 3,70, то есть больше 3, но меньше 4. Поэтому наибольшее возможное целое число раз — 3.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3 раза.