19. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения: x² − 2x + |y| − 15 = 0, x² + (y − a)(y + a) = 2(x − 1/2).

Введём u = (x − 1)². Первое уравнение принимает вид u + |y| = 16, поэтому при t = |y| имеем u = 16 − t и 0 ≤ t ≤ 16.

Во втором уравнении (y − a)(y + a) = y² − a². Переносим и дополняем квадрат: (x − 1)² + y² = a².

Подстановка u = 16 − t и y² = t² даёт a² = 16 − t + t². Правая часть достигает минимума 63/4 при t = 1/2 и максимума 256 при t = 16.

При 0 ≤ t < 16 существуют два значения y = ±t и для каждого — два значения x = 1 ± √(16 − t), то есть четыре решения. При t = 16 получаем u = 0 и два решения: (1, 16) и (1, −16). Следовательно, ровно два решения возникают только при a² = 256.

Ответ: a = −16 или a = 16.