18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac{1}{2},\ b_1=\frac{1}{8}$; 2) $q=\frac{1}{3},\ b_5=\frac{1}{81}$; 3) $q=-\frac{1}{3},\ b_1=9$; 4) $q=-\frac{1}{2},\ b_4=\frac{1}{8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac{1}{2},\ b_1=\frac{1}{8}$; 2)…$ Фото задания

18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $q=-\frac{1}{2},\ b_1=\frac{1}{8}$; 2) $q=\frac{1}{3},\ b_5=\frac{1}{81}$; 3) $q=-\frac{1}{3},\ b_1=9$; 4) $q=-\frac{1}{2},\ b_4=\frac{1}{8}$.

Accepted Answer

Для бесконечной геометрической прогрессии при $|q|<1$ сумма равна $S=\frac{b_1}{1-q}$. Если задан член с номером больше 1, сначала используем $b_n=b_1q^{n-1}$.

$S=\frac{\frac{1}{8}}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$.
$b_5=b_1q^4$, поэтому $b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac{1}{81}}{(\frac{1}{3})^4}=1$. Тогда $S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$.
$S=\frac{9}{1-(-\frac{1}{3})}=9\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{4}$.
$b_4=b_1q^3$, откуда $b_1=\frac{\frac{1}{8}}{(-\frac{1}{2})^3}=-1$. Тогда $S=\frac{-1}{1-(-\frac{1}{2})}=-\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{12}$; 2) $\frac{3}{2}$; 3) $\frac{27}{4}$; 4) $-\frac{2}{3}$.

18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) \(q=-\frac{1}{2},\ b_1=\frac{1}{8}\); 2) \(q=\frac{1}{3},\ b_5=\frac{1}{81}\); 3) \(q=-\frac{1}{3},\ b_1=9\); 4) \(q=-\frac{1}{2},\ b_4=\frac{1}{8}\).

Ответ: