18. Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию ABCD с боковой стороной AB. Прямые AO и BC пересекаются в точке E. а) Докажите, что O — середина AE. б) Найдите радиус окружности, если AB = 30, BO = 3√10.

а) Пусть основания трапеции — AD и BC, а высота равна h. Введём координаты: A = (0; 0), D = (d; 0), B = (p; h), C = (p + q; h), где d и q — длины оснований. Из равенства боковых сторон следует, что p = (d − q)/2. Поэтому ось симметрии трапеции проходит через точки с абсциссой d/2.

Центр вписанной окружности лежит на оси симметрии, а расстояния до параллельных оснований равны, значит, O = (d/2; h/2). Прямая AO пересекает прямую BC при удвоении координат точки O: E = (d; h). Следовательно, O = (A + E)/2, то есть O — середина AE.

б) Обозначим длины оснований AD и BC через m и n, а радиус окружности через r. Высота трапеции равна 2r. По свойству описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна: AB + CD = AD + BC. Так как AB = CD = 30, получаем m + n = 60.

Из равнобедренности горизонтальное смещение каждой боковой стороны равно (m − n)/2. Тогда AB² = ((m − n)/2)² + 4r². Подставляя AB = (m + n)/2 из свойства описанного четырёхугольника, получаем mn = 4r².

Точка B находится на расстоянии r от середины основания BC, поэтому BO² = n²/4 + r² = n²/4 + mn/4 = n(m + n)/4. Тогда 90 = 60n/4, откуда n = 6, m = 54. Следовательно, r² = mn/4 = 54 · 6/4 = 81, поэтому r = 9.

Ответ: а) O — середина AE; б) 9.