20. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Пусть исходных чисел n, сумма их цифр десятков равна A, а сумма цифр единиц — B. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 2970, а сумма после перестановки цифр — A + 10B. Каждая цифра здесь от 1 до 9.

а) Требуется, чтобы новая сумма была 2970/3 = 990. Решаем систему 10A + B = 2970, A + 10B = 990. Получаем A = 290, B = 70.

Подойдёт набор: четыре числа 99, одно число 96, двадцать семь чисел 91 и одно число 21. Их сумма равна 4 · 99 + 96 + 27 · 91 + 21 = 2970. После перестановки цифр сумма равна 4 · 99 + 69 + 27 · 19 + 12 = 990.

б) Если новая сумма равна 2970/5 = 594, то система 10A + B = 2970, A + 10B = 594 даёт A = 294, B = 30. Но для суммы цифр десятков A = 294 нужно не менее 33 чисел, так как каждая цифра не больше 9. Тогда сумма цифр единиц B должна быть не менее 33, поскольку в каждом числе она хотя бы 1. Это противоречит B = 30.

в) Из равенства исходной суммы следует B = 2970 − 10A. Новая сумма равна A + 10B = 29700 − 99A; чтобы она была наименьшей, нужно максимально увеличить A. Если A ≥ 294, то B ≤ 30, однако для суммы A ≥ 294 необходимо не менее 33 чисел, а значит, B ≥ 33. Противоречие. Значение A = 293 возможно: можно взять 33 числа, среди которых 31 число 91, одно число 98 и одно число 51. Их сумма равна 31 · 91 + 98 + 51 = 2970, а после перестановки — 31 · 19 + 89 + 15 = 693. Следовательно, наименьшая возможная сумма достигнута.

Ответ: а) пример приведён; б) нет; в) 693.