19. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любой корень уравнения 4∛(3,5x − 2,5) + 3 log₂(3x − 1) + 2a = 0 принадлежит отрезку [1; 3].

Область определения уравнения: x > 1/3. Функция F(x) = 4∛(3.5x − 2.5) + 3 log₂(3x − 1) строго возрастает на этой области: оба слагаемых возрастают. Кроме того, при x → 1/3+ функция стремится к −∞, а при x → +∞ — к +∞. Поэтому для любого a уравнение F(x) + 2a = 0 имеет ровно один корень.

Этот корень лежит в [1; 3] тогда и только тогда, когда значения параметра, соответствующие x = 1 и x = 3, ограничивают его диапазон. При x = 1: F(1) = 4∛1 + 3 log₂2 = 7, поэтому a = −7/2. При x = 3: F(3) = 4∛8 + 3 log₂8 = 17, поэтому a = −17/2. Поскольку корень убывает при возрастании a, получаем требуемый промежуток.

Ответ: a ∈ [−17/2; −7/2].