18. Решить задачу: Сумма трех чисел равна 424. Первое число меньше второго в 2 раза, а третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от первого числа.

Решение:

Пусть первое число равно \(x\).

1. Первое число: \(x\).
2. Второе число в 2 раза больше первого, значит, оно равно \(2x\).
3. Третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от первого, значит, оно равно \(\frac{5}{7}x\).
4. Сумма трех чисел равна 424:
\[ x + 2x + \frac{5}{7}x = 424 \]

(Приведем к общему знаменателю 7)
\[ \frac{7x}{7} + \frac{14x}{7} + \frac{5x}{7} = 424 \]


\[ \frac{7x + 14x + 5x}{7} = 424 \]


\[ \frac{26x}{7} = 424 \]

(Чтобы найти \(x\), умножим 424 на 7 и разделим на 26):
\[ x = \frac{424 \cdot 7}{26} \]

(424 и 26 делятся на 2):
\[ x = \frac{212 \cdot 7}{13} \]

(212 не делится на 13. Проверим условие задачи. Похоже, что третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от ВТОРОГО числа, а не от первого. Уточним условие. Если третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от первого, то решения в целых числах нет.)


(Предположим, что третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от первого числа, как написано.)
\[ x = \frac{1484}{13} \]

(Это нецелое число. Задача, скорее всего, содержит опечатку. Если предположить, что третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от ВТОРОГО числа, то решение будет другим.)


(Предполагая, что в условии опечатка и третье число составляет \(\frac{5}{7}\) от второго числа):


1. Первое число: \(x\).
2. Второе число: \(2x\).
3. Третье число: \(\frac{5}{7} \cdot 2x = \frac{10x}{7}\).
4. Сумма трех чисел равна 424:
\[ x + 2x + \frac{10x}{7} = 424 \]


\[ \frac{7x}{7} + \frac{14x}{7} + \frac{10x}{7} = 424 \]


\[ \frac{31x}{7} = 424 \]


\[ x = \frac{424 \cdot 7}{31} \]

(424 делится на 31. \(424 : 31 = 13.67...\). Опять нецелое число. Попробуем другое предположение.)


(Предполагая, что первое число составляет \(\frac{5}{7}\) от второго числа, а не наоборот):


1. Пусть второе число равно \(x\).
2. Первое число: \(\frac{5}{7}x\).
3. Третье число: \(2 \cdot \frac{5}{7}x = \frac{10}{7}x\).
4. Сумма: \(\frac{5}{7}x + x + \frac{10}{7}x = 424\)


(Давайте вернемся к оригинальному условию и найдем числа, даже если они дробные)


1. Первое число: \(x\).
2. Второе число: \(2x\).
3. Третье число: \(\frac{5}{7}x\).
4. Сумма: \(x + 2x + \frac{5}{7}x = 424\)



\[ \frac{26x}{7} = 424 \]


\[ x = \frac{424 \cdot 7}{26} = \frac{212 \cdot 7}{13} = \frac{1484}{13} \]


Первое число: \(x = \frac{1484}{13} \approx 114.15\)

Второе число: \(2x = 2 \cdot \frac{1484}{13} = \frac{2968}{13} \approx 228.31\)

Третье число: \(\frac{5}{7}x = \frac{5}{7} \cdot \frac{1484}{13} = \frac{5 \cdot 212}{13} = \frac{1060}{13} \approx 81.54\)

Проверка: \(\frac{1484}{13} + \frac{2968}{13} + \frac{1060}{13} = \frac{1484 + 2968 + 1060}{13} = \frac{5512}{13} \).


\(5512 / 13 = 424\).


(Числа получились дробными, что необычно для школьных задач, но математически верно согласно условию.)



Ответ: Первое число \(\frac{1484}{13}\), второе число \(\frac{2968}{13}\), третье число \(\frac{1060}{13}\).