18. Решите систему уравнений методом Крамера: а) {3x + 4y = 18; 2x + 5y = 19}; б) {3x − 2y = 1; 6x − 4y = 2}; в) {2x − 3y = 2; 4x − 6y = 3}; г) {5x − 2y = 7; 3x + 4y = 25}; д) {(2x − y)/3 − (3x − 2)/4 = x + y; 5x − 4y = −18}; е) {(x + 2y)/4 − (x − 2y)/2 − (7 − 2y)/3 = 1 − x; 3x − 2y = 8}; ж) {(1 − 2y)/5 − x/5 − 2y = 4; 2(1 − y) − x = 1}; з) {(3x − 5y)/3 − (x + 2y)/6 = 10; 7x − 10y = 62}.

Для каждой системы используем определители Крамера: при ненулевом главном определителе решение единственно; при нулевом проверяем совместность уравнений.

1. а) Δ = 3·5 − 4·2 = 7, Δ_x = 18·5 − 4·19 = 14, Δ_y = 3·19 − 18·2 = 21. Следовательно, x = Δ_x/Δ = 2, y = Δ_y/Δ = 3.

2. б) Δ = 3·(−4) − (−2)·6 = 0. Второе уравнение совпадает с первым, умноженным на 2. Поэтому система имеет бесконечно много решений: все точки прямой 3x − 2y = 1.

3. в) Δ = 2·(−6) − (−3)·4 = 0, но второе уравнение имеет правую часть 3, тогда как удвоенное первое уравнение имеет правую часть 4. Система несовместна.

4. г) Δ = 5·4 − (−2)·3 = 26, Δ_x = 7·4 − (−2)·25 = 78, Δ_y = 5·25 − 7·3 = 104. Значит, x = 3, y = 4.

5. д) Первое уравнение умножаем на 12 и упрощаем: 13x + 16y = 6. Вместе со вторым уравнением это даёт систему. Δ = 13·(−4) − 16·5 = −132, Δ_x = 6·(−4) − 16·(−18) = 264, Δ_y = 13·(−18) − 6·5 = −264. Поэтому x = −2, y = 2.

6. е) Умножаем первое уравнение на 12 и упрощаем: 9x + 26y = 40. Для этой системы Δ = 9·(−2) − 26·3 = −96, Δ_x = 40·(−2) − 26·8 = −288, Δ_y = 9·8 − 40·3 = −48. Следовательно, x = 3, y = 1/2? Проверим преобразование: из первого выражения после умножения на 12 получается 3(x + 2y) − 6(x − 2y) − 4(7 − 2y) = 12 − 12x, то есть 9x + 26y = 40. Однако совместно с 3x − 2y = 8 даёт y = 1/2 и x = 3.

7. ж) Первое уравнение умножаем на 5 и упрощаем: x + 12y = −19. Второе упрощается до x + 2y = 1. Вычитание даёт 10y = −20, значит, y = −2, x = 5.

8. з) Первое уравнение умножаем на 6 и упрощаем: 5x − 12y = 60. Вместе со вторым уравнением получаем Δ = 5·(−10) − (−12)·7 = 34, Δ_x = 60·(−10) − (−12)·62 = 144, Δ_y = 5·62 − 60·7 = −110. Поэтому x = 72/17, y = −55/17.

Ответ: а) (2; 3); б) бесконечно много решений, 3x − 2y = 1; в) решений нет; г) (3; 4); д) (−2; 2); е) (3; 1/2); ж) (5; −2); з) (72/17; −55/17).