18. Тип 18 № 3839 i Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Задача 18

Здесь нужно найти периметр параллелограмма. Известно, что биссектрисы углов A и D пересекаются на стороне BC. Дана длина стороны AB.

Решение:

• Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны (AB = CD, BC = AD), и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (\(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\)).
• Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
• Точка пересечения: Так как AM — биссектриса \(\angle A\), а DM — биссектриса \(\angle D\), и \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\), то \(\angle DAM = \angle A/2\) и \(\angle ADM = \angle D/2\). Сумма этих углов \(\angle DAM + \angle ADM = (\angle A + \angle D)/2 = 180^{\circ}/2 = 90^{\circ}\).
• Треугольник AMD: В треугольнике AMD сумма двух углов равна 90°, значит, третий угол \(\angle AMD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\). То есть, треугольник AMD — прямоугольный.
• Равные отрезки: Так как AM — биссектриса, \(\angle BAM = \angle MAD\). Углы \(\angle MAD\) и \(\angle AMB\) — накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AM, значит, \(\angle MAD = \angle AMB\). Следовательно, \(\angle BAM = \angle AMB\), а значит, треугольник ABM — равнобедренный, и AB = BM.
• Аналогично, DM — биссектриса, \(\angle ADM = \angle MDC\). Углы \(\angle ADM\) и \(\angle DMC\) — накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей DM, значит, \(\angle ADM = \angle DMC\). Следовательно, \(\angle MDC = \angle DMC\), а значит, треугольник CMD — равнобедренный, и CD = CM.
• Связь сторон: Мы знаем, что AB = 6. Так как AB = BM, то BM = 6. Также, CD = AB = 6. Так как CD = CM, то CM = 6.
• Длина стороны BC: Сторона BC состоит из отрезков BM и MC. BC = BM + MC = 6 + 6 = 12.
• Периметр: Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин смежных сторон: P = 2 * (AB + BC).

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 2 * (6 + 12) = 36.