18. Тип 18 № 4090 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

Краткая запись:

• Параллелограмм ABCD
• \(\angle A = 60^{\circ}\)
• AM — биссектриса \(\angle A\)
• \(AM \perp DM\)
• AB = 6
• Найти: Периметр (P) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как AM — биссектриса \(\angle A\), то \(\angle BAM = \angle MAD = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}\).
2. Шаг 2: В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому BC || AD. Угол MAD равен 30°.
3. Шаг 3: Рассмотрим \(\triangle ADM\). \(\angle DAM = 30^{\circ}\). Так как \(AM \perp DM\), то \(\angle AMD = 90^{\circ}\). Сумма углов в \(\triangle ADM\) равна 180°, значит \(\angle ADM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
4. Шаг 4: В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \(\angle BCD = \angle A = 60^{\circ}\) и \(\angle ABC = \angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
5. Шаг 5: В \(\triangle ADM\) угол ADM равен 60°, а угол ADС равен 120°. Это означает, что точка M лежит на стороне BC.
6. Шаг 6: В \(\triangle ABM\): \(\angle BAM = 30^{\circ}\). Так как AB || DC, то \(\angle BMA\) и \(\angle AMD\) являются смежными углами, поэтому \(\angle BMA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\). (Это противоречит предыдущему выводу, что M лежит на BC, если ADM = 60 и ADC = 120. Пересмотрим.)
7. Шаг 6 (пересмотрено): Рассмотрим \(\triangle ABM\). \(\angle BAM = 30^{\circ}\). \(\angle ABM = 120^{\circ}\) (угол параллелограмма). Тогда \(\angle AMB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ} = 30^{\circ}\).
8. Шаг 7: Так как \(\angle BAM = \angle AMB = 30^{\circ}\), то \(\triangle ABM\) — равнобедренный, и AB = BM.
9. Шаг 8: По условию AB = 6, значит BM = 6.
10. Шаг 9: Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC. BC = BM + MC.
11. Шаг 10: Рассмотрим \(\triangle ADM\) еще раз. \(\angle DAM = 30^{\circ}\), \(\angle AMD = 90^{\circ}\), \(\angle ADM = 60^{\circ}\).
12. Шаг 11: В \(\triangle ABM\) (где \(\angle BAM=30\), \(\angle ABM=120\), \(\angle AMB=30\)), AB = BM = 6.
13. Шаг 12: В \(\triangle ADM\), DM — катет, противолежащий углу 30°. AM — катет, противолежащий углу 60°. AD — гипотенуза.
14. Шаг 13: В \(\triangle ADM\), DM = AD \(\cdot \cos(60^{\circ}) = AD \cdot \frac{1}{2}\). AM = AD \(\cdot \sin(60^{\circ}) = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
15. Шаг 14: Из \(\triangle ABM\), \(\sin(30^{\circ}) = \frac{BM}{AM} \implies AM = \frac{BM}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6}{1/2} = 12\).
16. Шаг 15: Теперь, зная AM, можем найти AD из \(\triangle ADM\): \( 12 = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies AD = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\).
17. Шаг 16: Стороны параллелограмма: AB = 6, AD = \(8\sqrt{3}\).
18. Шаг 17: Периметр параллелограмма P = 2(AB + AD) = \( 2(6 + 8\sqrt{3}) = 12 + 16\sqrt{3}\).

Ответ: \(12 + 16\sqrt{3}\)