18. В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠BKM = 45°. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если AB = 2√15.

Обозначим сторону квадрата через s и введём координаты: A(0; 0), B(s; 0), C(s; s), D(0; s). Тогда M(s/2; 0), N(s; s/2).

Прямая CM имеет уравнение y = 2x − s, а DN — y = s − x/2. Решая систему, получаем K(4s/5; 3s/5).

Векторы KB = (s/5; −3s/5) и KM = (−3s/10; −3s/5). Их скалярное произведение равно 3s²/10, а длины равны s√10/5 и 3s√5/10. Поэтому косинус угла BKM равен √2/2, следовательно, ∠BKM = 45°.

В треугольнике ABK: AB = AK = s, BK = s√10/5. Площадь равна 3s²/10. Радиус описанной окружности:

R = AB · AK · BK / (4S) = 5s√10/12.

При s = 2√15 получаем R = 5√6/3.

Ответ: а) ∠BKM = 45°; б) R = 5√6/3.