19. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 25ˣ − (a + 6)5ˣ = (5 + 3|a|)5ˣ − (a + 6)(3|a| + 5) имеет единственное решение.

Положим t = 5ˣ. Поскольку t > 0, каждому положительному корню уравнения относительно t соответствует ровно одно значение x.

После переноса всех членов в левую часть и разложения на множители получаем:

t² − (a + 11 + 3|a|)t + (a + 6)(3|a| + 5) = 0,

(t − (a + 6))(t − (3|a| + 5)) = 0.

Корень 3|a| + 5 всегда положителен. Решение будет единственным, если второй корень неположителен либо совпадает с первым.

1. a + 6 ≤ 0, то есть a ≤ −6.
2. a + 6 = 3|a| + 5. При a ≥ 0 это даёт a = 1/2; при a < 0 — a = −1/4.

Ответ: a ∈ (−∞; −6] ∪ {−1/4; 1/2}.