20. На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 21. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Обозначим числа в возрастающем порядке через x₁ < x₂ < … < x₁₀. Тогда x₁ + … + x₆ = 42, а x₅ + … + x₁₀ = 126. Сумма всех десяти чисел равна 168 − (x₅ + x₆).

а) Если x₁ = 5, то следующие пять чисел среди первых шести — различные натуральные числа больше 5. Их сумма не меньше 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40, поэтому сумма первых шести не меньше 45. Это противоречит условию о сумме 42. Значит, наименьшее число не может быть равно 5.

б) Для среднего 16 сумма всех чисел должна быть 160, то есть x₅ + x₆ = 8. Но x₅ и x₆ — различные натуральные числа, причём x₅ ≥ 5, x₆ ≥ 6, поэтому x₅ + x₆ ≥ 11. Такое среднее невозможно.

в) Чтобы среднее было наибольшим, нужно минимизировать x₅ + x₆. При x₅ = 9 сумма четырёх предыдущих чисел не превосходит 5 + 6 + 7 + 8 = 26, а x₆ = 42 − (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + 9) ≥ 7; поскольку x₆ > 9, имеем x₆ ≥ 10. В целом минимально возможная сумма пары — 25: при x₅ ≤ 8 условие суммы первых шести вынуждает x₆ + x₅ ≥ 28; при x₅ ≥ 10 уже x₅ + x₆ ≥ 10 + 11 = 21, но x₅ = 10 невозможно, так как даже наибольшая сумма четырёх различных натуральных чисел меньше 10 равна 6 + 7 + 8 + 9 = 30, и тогда сумма первых шести была бы не меньше 10 + 11 + 30 > 42. Значение 25 достижимо: первые шесть чисел 5, 6, 7, 8, 9, 16 имеют сумму 51 — нет, это не подходит; для суммы 42 берём 1, 6, 7, 8, 9, 11, где сумма равна 42 и x₅ + x₆ = 20. Следовательно, для точного максимума проверяем минимальную сумму пары: при x₅ = 9 минимальная сумма первых четырёх чисел, необходимых для общей суммы 42, даёт x₆ ≥ 16 и пару не менее 25; достижимость требует первых четырёх чисел с суммой 26, например 5, 6, 7, 8, но тогда первые шесть дают 45. Поэтому пара 25 недостижима. Наименьшая достижимая сумма пары равна 26: например, первые шесть чисел 3, 6, 7, 8, 9, 9 — недопустимы, поскольку числа должны различаться; значит, требуется отдельная проверка для допустимой последовательности.

Для корректного определения максимума рассмотрим сумму первых четырёх чисел. Если x₅ = 9, то x₁ + … + x₄ = 33 − x₆; при x₆ > 9 минимальная возможная сумма пары x₅ + x₆ достигается, когда x₆ как можно меньше, но сумма четырёх различных чисел меньше 9 не превышает 26. Значит, x₆ ≥ 7, а также x₆ > 9; значение x₆ = 10 потребовало бы сумму первых четырёх 23, что достижимо (1, 6, 7, 9 — но 9 уже занято), а сумма четырёх чисел меньше 9 должна быть не менее 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Пример x₁…x₆ = 1, 5, 7, 8, 9, 12 имеет сумму 42 и x₅ + x₆ = 21. Можно взять последние числа 17, 18, 19, 20: их сумма вместе с 9 и 12 равна 95, не 126. При заданной сумме верхних шести достаточно выбрать четыре числа больше x₆ с требуемой суммой; например, 13, 14, 15, 72 дают сумму 126 вместе с 9 и 12.

Для максимума среднего нужно минимизировать x₅ + x₆; допустимая минимальная сумма этой пары — 21, достигается при первых шести числах 1, 5, 7, 8, 9, 12. Тогда сумма всех десяти чисел равна 168 − 21 = 147, а среднее — 14,7.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 14,7.