18. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4: 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

1. Пусть серединный перпендикуляр к АС пересекает АС в точке М, а катет ВС в точке D. Тогда AD - отрезок, делящий угол А треугольника ABC.

2. Так как MD - серединный перпендикуляр к АС, то треугольник ADC равнобедренный (DA = DC). Следовательно, угол DAC = угол DCA.

3. В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°. Следовательно, угол DAC = угол DCA = 90°.

4. Это означает, что точка D лежит на катете BC, и угол A треугольника ABC равен 90°, что невозможно для прямоугольного треугольника.

5. Переформулируем условие: серединный перпендикуляр к гипотенузе АС пересекает катет ВС в точке D. Отрезок AD делит угол А в отношении 4:7. Угол А = 11 частей. Угол CAD = (4/11) * Угол А, Угол DAB = (7/11) * Угол А.

6. В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°. Так как MD - серединный перпендикуляр к АС, то DA = DC. Угол DAC = угол DCA. В треугольнике ADC, угол ADC = 180 - 2 * угол DAC.

7. В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 90°. Угол A + Угол C = 90°.

8. Если угол A = 11x, то угол CAD = 4x, угол DAB = 7x. Угол C = 90 - 11x.

9. В треугольнике ADC, угол DAC = угол DCA = 90 - 11x. Угол ADC = 180 - 2(90 - 11x) = 22x.

10. Угол ADB - развернутый угол, смежный с углом ADC. Угол ADB = 180 - 22x.

11. В треугольнике ABD, сумма углов равна 180°: Угол DAB + Угол ABD + Угол ADB = 180°.

12. 7x + 90° + (180° - 22x) = 180°.

13. 7x + 90° + 180° - 22x = 180°.

14. 90° - 15x = 0.

15. 15x = 90°.

16. x = 6°.

17. Угол A = 11x = 11 * 6° = 66°.

18. Угол CAD = 4x = 4 * 6° = 24°.

19. Угол DAB = 7x = 7 * 6° = 42°.

20. Проверим: Угол C = 90 - 11x = 90 - 66 = 24°. Угол DAC = 24°. Угол DAB = 42°. Угол A = 24 + 42 = 66°.

Ответ: 66.