18. В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB = CN:NB = 2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB + BC = 4AC. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML = 9/5, LN = 3.

а) Из отношений следует, что BM/BA = BN/BC = 3/5. Поэтому MN параллелен AC, а MN = 3AC/5.

Пусть h — высота треугольника ABC к AC, а r — радиус вписанной окружности. Расстояние между параллельными прямыми AC и MN равно 2h/5. Эти прямые касаются одной окружности, поэтому расстояние между ними равно 2r. Следовательно, r = h/5.

Площадь треугольника равна AC·h/2 и одновременно равна r·s, где s — полупериметр. Значит, AC·h/2 = h·s/5, откуда 2s = 5AC. Так как 2s = AB + BC + AC, получаем AB + BC = 4AC.

б) Из ML + LN = MN получаем MN = 9/5 + 3 = 24/5. Поскольку MN = 3AC/5, имеем AC = 8. По пункту а) AB + BC = 32.

Обозначим AB = x, BC = y, d = x − y. Пусть координата точки A на прямой AC равна 0, а направление от A к C положительное. Проекция B на AC имеет координату AH = (x² + AC² − y²)/(2AC) = 2d + 4. Поскольку AM/AB = 2/5, проекция M имеет координату 2AH/5 = 4d/5 + 8/5.

Точка касания окружности с AC — обозначим её Q — лежит на перпендикуляре к AC через L: параллельные прямые AC и MN касаются окружности, а радиус к точке касания перпендикулярен обеим. Поэтому координата Q равна координате L. Так как ML = 9/5, получаем AQ = 4d/5 + 17/5.

Длины касательных из A к окружности равны, поэтому AQ = (AB + AC − BC)/2 = (d + 8)/2. Приравнивая выражения, получаем (d + 8)/2 = (4d + 17)/5, откуда d = 2. Тогда x + y = 32 и x − y = 2, значит, AB = 17, BC = 15.

Треугольник со сторонами 8, 15 и 17 прямоугольный, его площадь равна 8·15/2 = 60, а полупериметр равен 20. Следовательно, r = 60/20 = 3.

Ответ: а) AB + BC = 4AC; б) 3.