19. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(x⁴ − x² + a²) = x² + x − a имеет ровно три различных корня.

Обе части уравнения после возведения в квадрат должны быть равны, причём правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной.

Приравниваем квадраты:

\(x^4-x^2+a^2=(x^2+x-a)^2\), откуда \(2x(x+1)(x-a)=0\). Возможные корни: \(x=0\), \(x=-1\), \(x=a\).

Проверяем условие \(x^2+x-a\geq 0\). При \(x=0\) и \(x=-1\) оно равносильно \(a\leq 0\); при \(x=a\) правая часть равна \(a^2\), поэтому этот корень допустим при любом a.

При \(a<0\) все три корня допустимы, кроме случаев совпадения: при \(a=-1\) корни \(-1\) и \(a\) совпадают, а при \(a=0\) совпадают 0 и a. При \(a>0\) допустим только корень \(x=a\).

Ответ: \(a\in(-\infty,-1)\cup(-1,0)\).