182. Какой знак представлен на рисунке 33? Являются ли равносильными уравнения: 1) $2^{x^2+3x}=2^2$ и $x^2+3x=2$; 2) $\sqrt{x^2+3x}=\sqrt2$ и $x^2+3x=2$; 3) $\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2}-x$ и $x+18=2-x^3$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 182. Какой знак представлен на рисунке 33? Являются ли равносильными уравнения: 1) $2^{x^2+3x}=2^2$ и $x^2+3x=2$; 2)…$ Фото задания

182. Какой знак представлен на рисунке 33? Являются ли равносильными уравнения: 1) $2^{x^2+3x}=2^2$ и $x^2+3x=2$; 2) $\sqrt{x^2+3x}=\sqrt2$ и $x^2+3x=2$; 3) $\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2}-x$ и $x+18=2-x^3$?

Accepted Answer

Для 1) основание степени равно 2, а функция $2^t$ строго возрастает, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей: $2^{x^2+3x}=2^2\iff x^2+3x=2$.

Для 2) квадратные корни определены при неотрицательных подкоренных выражениях. Равенство корней влечёт равенство подкоренных выражений, причём полученное равенство $x^2+3x=2$ автоматически обеспечивает их неотрицательность: $\sqrt{x^2+3x}=\sqrt2\iff x^2+3x=2$.

Для 3) кубический корень определён при любом действительном подкоренном выражении. Возводим обе части в третью степень: $\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2}-x\iff x+18=(\sqrt[3]{2}-x)^3$, а не $x+18=2-x^3$. В правой части исходного уравнения находится разность, поэтому её куб не равен разности кубов.

Ответ: уравнения в пунктах 1) и 2) равносильны; уравнения в пункте 3) не равносильны.

182. Какой знак представлен на рисунке 33? Являются ли равносильными уравнения: 1) \(2^{x^2+3x}=2^2\) и \(x^2+3x=2\); 2) \(\sqrt{x^2+3x}=\sqrt2\) и \(x^2+3x=2\); 3) \(\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2}-x\) и \(x+18=2-x^3\)?

Ответ: