19.2. Упростите выражение: а) $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$; б) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha$; в) $\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$; г) $\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 19.2. Упростите выражение: а) $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$; б)…$ Фото задания

19.2. Упростите выражение: а) $\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$; б) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha$; в) $\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$; г) $\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$.

Accepted Answer

а) По формуле синуса суммы:

$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta.$

б) Раскрываем синус суммы:

$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha.$

в) Раскрываем косинус суммы:

$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.$

г) Раскрываем косинус суммы:

$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha.$

Ответ: а) $\cos\alpha\sin\beta$; б) $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$; в) $\cos\alpha\cos\beta$; г) $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.

19.2. Упростите выражение: а) \(\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta\); б) \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac{1}{2}\sin\alpha\); в) \(\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)\); г) \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\).

Ответ: