19.3. Упростите выражение: а) \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac{1}{2}\cos\alpha\); б) \(\sqrt{3}\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\); в) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)\); г) \(\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha\).

а) Раскрываем синус разности:

\(\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac{1}{2}\cos\alpha=\frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha.\)

б) Раскрываем косинус разности:

\(\sqrt{3}\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha\right)=-\sin\alpha.\)

в) Раскрываем косинус разности, учитывая \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}\) и \(\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cos\alpha.\)

г) Раскрываем синус разности:

\(\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right)-\sin\alpha=-\cos\alpha.\)

Ответ: а) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\); б) \(-\sin\alpha\); в) \(\frac{1}{2}\cos\alpha\); г) \(-\cos\alpha\).