19. (3 балла) Найдите промежутки возрастания функции $$ y = x^2 + 12x - 100 $$.

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания функции найдем её производную и приравняем к нулю.

Производная функции \( y = x^2 + 12x - 100 \):

\( y' = (x^2 + 12x - 100)' = 2x + 12 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 2x + 12 = 0 \)
\( 2x = -12 \)
\( x = -6 \)

Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty; -6) \) и \( (-6; +\infty) \).

Выберите любое значение из \( (-\infty; -6) \), например, \( x = -7 \):

\( y'(-7) = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2 \)

Так как \( y' < 0 \) на этом интервале, функция убывает.

Выберите любое значение из \( (-6; +\infty) \), например, \( x = 0 \):

\( y'(0) = 2(0) + 12 = 12 \)

Так как \( y' > 0 \) на этом интервале, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $$ (-6; +\infty) $$.