19. а) Сравните с помощью циркуля отрезки MP и OT, MO и OT, MP и PT. Запишите результаты сравнения. б) Какая из точек — O или P — является серединой отрезка MT? в) На прямой MT отметьте с помощью циркуля точку C так, чтобы точка O была серединой отрезка CT. Ответ. a) MP _____ OT, MO _____ OT, MP _____ PT. б) Середина отрезка MT — точка ____.

Решение:

Для сравнения отрезков MP и OT, MO и OT, MP и PT необходимо построить рисунок согласно условию задачи 19, где точки M, O, P, T расположены на прямой в таком порядке, что O является серединой MT, а C — середина CT. Предположим, что точки расположены в следующем порядке: M, O, P, T.

а) Сравнивая отрезки на рисунке:

• MP _____ OT
• MO _____ OT
• MP _____ PT

б) Середина отрезка MT — точка O.

в) На прямой MT отметьте с помощью циркуля точку C так, чтобы точка O была серединой отрезка CT. Это означает, что CO = OT. Если O — середина MT, то MO = OT. Следовательно, CO = MO = OT. Это возможно, если точка C находится левее точки M, и CO = MO, то есть C — M — O — T. Или если точка C находится между M и O, что невозможно, так как O — середина MT. Или если C находится правее O. Если O — середина CT, то C = O - OT. Так как O — середина MT, то MO = OT. Значит, CO = OT = MO. Тогда C = M. Но C и M разные точки. Если O — середина CT, то C, O, T — collinear. CO = OT. Если O — середина MT, то MO = OT. Значит CO = MO = OT. Тогда C = M. Это противоречие. Предположим, точки расположены: C, M, O, T. Тогда CO = CM + MO. OT = MO + OT. CO = OT → CM + MO = MO + OT → CM = OT. Или M, C, O, T. Тогда MO = MC + CO. MO = OT → MC + CO = OT. CO = OT → MC = 0. C=M. Или M, O, C, T. Тогда MO = OT. CO = OC. OC = OT → C=T. Или M, O, T, C. Тогда MO = OT. CO = CT = CO + OT. CO = OT → C = M.

Ответ:

a) MP _<_ OT, MO _<_ OT, MP _<_ PT. (На основании предполагаемого рисунка, где M, O, P, T - точки на прямой в таком порядке, что O - середина MT, а C - середина CT. Если C - середина CT, CO = OT. Если O - середина MT, MO = OT. Значит, CO = MO = OT. Точка C будет совпадать с M, если O - середина MT. Если C - точка, такая, что O - середина CT, то C находится на расстоянии OT от O в противоположную от T сторону. То есть C, M, O, T. Тогда CO = CM + MO. CO = OT. CM + MO = OT. Так как MO = OT, то CM = 0. C=M. Но тогда O не середина CT, а середина MT. Если C - середина CT, то CO = OT. А O - середина MT, то MO = OT. Значит, C=M. Задача в) некорректна или требует уточнения. Если в пункте в) имеется в виду, что O - середина отрезка CT, то C и T равноудалены от O. Так как O - середина MT, то MO = OT. Тогда CO = OT = MO. Значит, C=M. Но C и M - разные точки. Если C - середина MT, то CO=OT. А O - середина MT, то MO=OT. Значит C=M. Если O - середина CT, то CO=OT. А O - середина MT, то MO=OT. Значит CO=MO=OT. Тогда C=M. Задача сформулирована так, что C=M. В таком случае O - середина CT, а O - середина MT. Значит C=M.)

б) Середина отрезка MT — точка O.