19. Диагональ параллелограмма разделили на три равные части. Докажите, что точки деления и две другие его вершины образуют ещё один параллелограмм.

Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC\) разделена точками \(E\) и \(F\) на три равные части: \(AE=EF=FC\).

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\mathbf b+\mathbf d\), поэтому

\[\overrightarrow{AE}=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{3},\qquad \overrightarrow{AF}=\frac{2(\mathbf b+\mathbf d)}{3}.\]

Выберем начало координат в точке \(A\). Тогда точки имеют координаты: \(B=\mathbf b\), \(D=\mathbf d\), \(E=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{3}\), \(F=\frac{2(\mathbf b+\mathbf d)}{3}\).

Середина отрезка \(BD\) равна

\[\frac{B+D}{2}=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}.\]

Середина отрезка \(EF\) равна

\[\frac{E+F}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathbf b+\mathbf d}{3}+\frac{2(\mathbf b+\mathbf d)}{3}\right)=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}.\]

Диагонали четырёхугольника \(BEDF\) имеют общую середину, значит, они делятся пополам. Следовательно, \(BEDF\) — параллелограмм.

Ответ: точки деления диагонали и две другие вершины образуют параллелограмм.