20. На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD взяли точки M и K так, что AM = CK. Докажите, что отрезок MK проходит через точку пересечения диагоналей. [текст условия обрезан на фотографии]

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина отрезка \(AC\).

Обозначим \(\frac{AM}{AB}=t\). Так как \(AM=CK\), а стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, то \(\frac{CK}{CD}=t\).

Введём векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\). Тогда:

\[M=A+t\mathbf b,\qquad K=C-t\mathbf b=A+\mathbf b+\mathbf d-t\mathbf b.\]

Середина отрезка \(MK\) имеет радиус-вектор

\[\frac{M+K}{2}=\frac{t\mathbf b+(1-t)\mathbf b+\mathbf d}{2}=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}.\]

Но \(\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}\) — это радиус-вектор точки пересечения диагоналей \(O\). Значит, точка \(O\) является серединой отрезка \(MK\) и, следовательно, лежит на нём.

Ответ: отрезок \(MK\) проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.