19. Два лесоруба, работая вместе, выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно, если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше, чем другому?

Пошаговое решение:

1. Обозначение переменных:
   Пусть \( x \) — норма вырубки (объем работы).
   Пусть \( t_1 \) — количество дней, которое нужно первому лесорубу для выполнения нормы.
   Пусть \( t_2 \) — количество дней, которое нужно второму лесорубу для выполнения нормы.
2. Формулировка первого условия:
   Первый лесоруб выполняет норму на 6 дней меньше, чем второй:
   \[ t_1 = t_2 - 6 \]
3. Формулировка второго условия:
   Работая вместе, они выполнили норму за 4 дня. Производительность первого лесоруба равна \( \frac{x}{t_1} \), второго — \( \frac{x}{t_2} \).
   Совместная производительность: \( \frac{x}{t_1} + \frac{x}{t_2} = \frac{x}{4} \).
   Разделим обе части на \( x \) (предполагаем, что \( x
   eq 0 \)):
   \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \]
4. Подстановка и решение системы:
   Подставим \( t_1 = t_2 - 6 \) во второе уравнение:
   \[ \frac{1}{t_2 - 6} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \]
5. Приведение к общему знаменателю:
   \[ \frac{t_2 + (t_2 - 6)}{(t_2 - 6)t_2} = \frac{1}{4} \]
   \[ \frac{2t_2 - 6}{t_2^2 - 6t_2} = \frac{1}{4} \]
6. Перекрестное умножение:
   \[ 4(2t_2 - 6) = t_2^2 - 6t_2 \]
   \[ 8t_2 - 24 = t_2^2 - 6t_2 \]
7. Приведение к стандартному виду квадратного уравнения:
   \[ t_2^2 - 6t_2 - 8t_2 + 24 = 0 \]
   \[ t_2^2 - 14t_2 + 24 = 0 \]
8. Решение квадратного уравнения (методом дискриминанта или по теореме Виета):
   Дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 ∙ 1 ∙ 24 = 196 - 96 = 100 \).
   \( \sqrt{D} = 10 \).
   \( t_2 = \frac{14 ∓ 10}{2} \)
   \( t_{2,1} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
   \( t_{2,2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
9. Выбор корректного значения:
   Если \( t_2 = 2 \), то \( t_1 = 2 - 6 = -4 \), что невозможно (время не может быть отрицательным).
   Следовательно, \( t_2 = 12 \) дней.
10. Нахождение $$t_1$$:
    \( t_1 = t_2 - 6 = 12 - 6 = 6 \) дней.

Ответ: Первому лесорубу нужно 6 дней, второму — 12 дней.