19. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, равна его основанию. Найдите косинус угла, лежащего против основания треугольника.

Обозначим основание через b, а боковую сторону — через a. По формуле медианы к стороне a:

\(m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2a^2-a^2}=\frac12\sqrt{2b^2+a^2}\).

По условию \(m_a=b\), поэтому \(4b^2=2b^2+a^2\), откуда \(a^2=2b^2\).

По теореме косинусов для угла, лежащего против основания:

\(\cos\alpha=\frac{a^2+a^2-b^2}{2a^2}=\frac{2a^2-b^2}{2a^2}=\frac34\).

Ответ: \(\frac34\).