Точка касания вписанной в треугольник окружности делит его сторону на отрезки длинами 5 и 7. Найдите периметр треугольника, если против данной стороны лежит угол, косинус которого равен 0,125. (рис.)

Обозначим через t длину касательной от верхней вершины к окружности. Касательные, проведённые из одной вершины, равны, поэтому стороны треугольника равны 5 + t, 7 + t и 12.

По теореме косинусов для угла, противоположного стороне 12:

\(\frac{(5+t)^2+(7+t)^2-12^2}{2(5+t)(7+t)}=0.125=\frac18\).

После упрощения получаем \(\frac{t^2+12t-35}{t^2+12t+35}=\frac18\), откуда \(t^2+12t=45\). Тогда \((t-3)(t+15)=0\). Длина положительна, значит \(t=3\).

Стороны треугольника: 8, 10 и 12. Периметр: \(8+10+12=30\).

Ответ: 30.