В треугольник со сторонами 5, 6 и 7 вписана окружность. Найдите расстояние от точки её касания со стороной длины 6 до противоположной вершины треугольника. (рис.)

Точка касания делит сторону длины 6 на отрезки, равные касательным из концов этой стороны. По свойству касательных эти отрезки равны \(\frac{5+6-7}{2}=2\) и \(\frac{7+6-5}{2}=4\).

Опустим высоту из противоположной вершины на сторону длины 6. Проекция вершины от конца, от которого отрезок касания равен 2, находится на расстоянии \(\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot6}=1\). Высота равна \(\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt6\).

По теореме Пифагора расстояние от вершины до точки касания равно \(\sqrt{(2-1)^2+(2\sqrt6)^2}=5\).

Ответ: 5.