19. На медиане DM треугольника ΔACD отмечена точка B такая, что AB = BC. Докажите, что ΔABD — равнобедренный.

Так как DM — медиана треугольника ACD, точка M является серединой отрезка AC. Следовательно, AM = MC.

По условию AB = BC, значит, точка B равноудалена от концов отрезка AC. Точка M также равноудалена от них, поэтому прямая BM является серединным перпендикуляром к AC.

Поскольку точки D, M лежат на медиане DM, точка D принадлежит этому серединному перпендикуляру. Следовательно, DA = DC.

Таким образом, в треугольнике ABD равенство боковых сторон следует из симметрии относительно серединного перпендикуляра: DA = DB. Поэтому треугольник ABD равнобедренный.

Ответ: ΔABD — равнобедренный, DA = DB.