21. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC и AD = CD. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. В них

• \(AB = BC\) по условию;
• \(AD = CD\) по условию;
• \(BD\) — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по трём сторонам.

Отсюда \(\angle ADB = \angle BDC\), значит, диагональ BD является биссектрисой угла ADC. Кроме того, из равенства треугольников получаем \(\angle ADB = \angle BDC\), а из равенства \(AB=BC\) — что точка B равноудалена от A и C. Точка D также равноудалена от A и C, поскольку \(AD=CD\).

Значит, прямая BD является серединным перпендикуляром к AC. Поэтому диагонали AC и BD перпендикулярны.

Ответ: AC ⟂ BD.