20. На стороне AC треугольника ΔABC отмечены точки M и N (M лежит на отрезке AN). Известно, что ∠BAC = ∠BCA, AM = NB. Докажите, что треугольник MBN — равнобедренный.

Из равенства углов ∠BAC = ∠BCA следует, что в треугольнике ABC равны противолежащие стороны:

\(AB = BC\).

Расположим точки на стороне AC в порядке A, M, N, C. Обозначим \(AM = NB = x\), а \(MN = y\). Тогда

\(AN = AM + MN = x+y\).

Так как \(AB=BC\), точки A и C симметричны относительно серединного перпендикуляра к AC. Из равенства \(AM=NB\\) следует, что точка M и точка N занимают симметричные положения относительно этого перпендикуляра, поэтому

\(BM = BN\).

Следовательно, треугольник MBN равнобедренный.

Ответ: BM = BN.